اكتشف علماء الرياضيات قطعة جديدة كبيرة من الأدلة لواحدة من أشهر الأفكار غير المثبتة في الرياضيات ، والمعروفة باسم التخمين الرئيسي المزدوج. لكن الطريق الذي سلكوه للعثور على هذا الدليل ربما لن يساعد على إثبات التخمين الرئيسي المزدوج نفسه.
التخمين الأساسي التوأم هو كل شيء عن كيف ومتى تظهر الأعداد الأولية - الأرقام التي لا يمكن القسمة عليها وحدهم و 1 - على سطر الأرقام. "الأعداد الأولية التوأم" هي الأعداد الأولية التي تختلف بخطوتين عن بعضهما البعض في ذلك الخط: 3 و 5 و 5 و 7 و 29 و 31 و 137 و 139 وما إلى ذلك. ينص التخمين الرئيسي التوأم على أن هناك عددًا لا حصر له من التوائم الأولية ، وأنك ستستمر في مواجهتها بغض النظر عن مدى خط الأرقام الذي تذهب إليه. كما ينص على وجود عدد لا نهائي من الأزواج الأولية مع كل فجوة محتملة أخرى بينهما (الأزواج الأولية التي تفصلها أربع خطوات ، بفارق ثماني خطوات ، 200.000 خطوة متباعدة ، وما إلى ذلك). علماء الرياضيات على يقين من أن هذا صحيح. يبدو أنه صحيح. وإذا لم يكن ذلك صحيحًا ، فهذا يعني أن الأعداد الأولية ليست عشوائية كما يعتقد الجميع ، مما قد يفسد الكثير من الأفكار حول كيفية عمل الأرقام بشكل عام. ولكن لم يتمكن أحد من إثبات ذلك.
قد يكونون أقرب الآن من أي وقت مضى. في ورقة نشرت في 12 أغسطس في مجلة arXiv ما قبل الطباعة ، كما ذكر كوانتا لأول مرة ، أثبت اثنان من علماء الرياضيات أن التخمين الرئيسي المزدوج صحيح - على الأقل في نوع من الكون البديل.
هذا ما يفعله علماء الرياضيات: العمل نحو أدلة كبيرة من خلال إثبات أفكار أصغر على طول الطريق. في بعض الأحيان ، يمكن أن تساعد الدروس المستفادة من تلك البراهين الأصغر في البرهان الأكبر.
في هذه الحالة ، أثبت علماء الرياضيات Will Sawin من جامعة كولومبيا و Mark Shusterman من جامعة Wisconsin نسخة من التخمين الرئيسي المزدوج للكون البديل "المجالات المحدودة": أنظمة الأعداد التي لا تذهب إلى ما لا نهاية مثل خط الأعداد ، ولكن بدلاً من ذلك ، يتراجعون عن أنفسهم.
ربما تواجه حقلًا محدودًا كل يوم على وجه الساعة. يتحول إلى 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، ثم يعود مرة أخرى إلى 1. في هذا المجال المحدود ، 3 + 3 لا يزال يساوي 6. ولكن 3 + 11 = 2.
قال Sawin لـ Live Science ، مثل الحقول العادية ، إن الحقول المحدودة تحتوي على كثيرات الحدود ، أو تعبيرات مثل "4x" أو "3x + 17x ^ 2-4". قال إن علماء الرياضيات تعلموا أن كثيرات الحدود على الحقول المحدودة تتصرف كثيرًا مثل الأعداد الصحيحة - الأعداد الصحيحة على خط الأعداد. تميل العبارات الصحيحة حول الأعداد الصحيحة أيضًا إلى الثقة في كثيرات الحدود على الحقول المحدودة والعكس صحيح. ومثل الأعداد الأولية تأتي في أزواج ، كثيرات الحدود تأتي في أزواج. على سبيل المثال ، توائم 3x + 17x ^ 2-4 هي 3x + 17x ^ 2-2 و 3 x + 17x ^ 2-6. والشيء الجميل في كثيرات الحدود ، كما يقول سوين ، هو أنه على عكس الأعداد الصحيحة ، عندما ترسمها على رسم بياني فإنها تصنع أشكالًا هندسية. على سبيل المثال ، يصنع 2x + 1 رسمًا بيانيًا يبدو كالتالي:
و 5 x + x ^ 2 يصنع رسمًا بيانيًا يبدو كالتالي:
نظرًا لأن كثيرات الحدود ترسم الأشكال ، بدلاً من النقاط التي تحصل عليها عند رسم الأعداد الأولية الفردية ، يمكنك استخدام الهندسة لإثبات أشياء حول كثيرات الحدود التي لا يمكنك إثباتها عن الأعداد الصحيحة البسيطة.
قال شوسترمان لـ Live Science: "لم نكن أول من يلاحظ أنه يمكنك استخدام الهندسة لفهم المجالات المحدودة".
أثبت باحثون آخرون إصدارات أصغر من فرضية التوائم الأولية حول أنواع معينة من كثيرات الحدود في مجالات محدودة. وقال ساوين إن دليل ساوين وشوسترمان يتطلب من الباحثين العودة والبدء من الصفر في نواح كثيرة.
قال شوسترمان: "كانت لدينا ملاحظة سمحت لنا بأداء خدعة ... جعلت الهندسة أجمل بكثير بحيث تنطبق في كل هذه الحالات".
وقال إن تلك الحيلة الهندسية أدت إلى اختراقتهم: إثبات أن هذه النسخة الخاصة من التخمين الرئيسي المزدوج صحيحة بالنسبة لجميع كثيرات الحدود في الحقول المحدودة ، وليس فقط بعضها.
وقال ساوين إن الأخبار السيئة هي أنه نظرًا لأن خدعتهم تعتمد بشكل كبير على الهندسة ، فمن المحتمل ألا يكون من الممكن استخدامها لإثبات التخمين الرئيسي المزدوج نفسه. الرياضيات الأساسية مختلفة فقط.
ومع ذلك ، قال شوسترمان ، إن إثبات حالة الحقول المحدودة هو دليل جديد كبير لإضافته إلى الكومة ، مما يثير اهتمام علماء الرياضيات مع احتمال أن يكون الدليل الذي ينتظره الجميع موجودًا في مكان ما.
يبدو الأمر كما لو أنهم أرادوا رؤية قمة جبل شديد الانحدار ، وبدلاً من ذلك شقوا طريقهم إلى أعلى جبل مختلف قريب. يمكنهم أن يروا الذروة البعيدة تقريبًا ، لكنها محاطة بالغيوم. والطريق الذي سلكوه للوصول إلى قمة الجبل الثاني ربما لن يعمل على الجبل الذي يهتمون به حقًا.
قال شوسترمان إنه يأمل في الاستمرار في العمل مع Sawin على مشكلة التوأميين ، وأنه من الممكن دائمًا أن يتعلموا شيئًا تعلموه في صنع هذا الدليل ليكون مهمًا لإثبات التخمين الرئيسي التوأم بعد كل شيء.
